一〇二上乳膠筆記@S-2013.10.19

Pre-defined Operator 預定算子
有個笑話是 $$\frac{sin\ x}n=\frac{si n \ x}{ n }=six=6$$ 不過這個笑話通常是用照片的形式出現的，因為在 的世界裡 $$\frac{\sin x}n=\frac{\sin x}n$$

現在大家幾本上同意特定的函數必須用正體，變數才用斜體. 因此 保留了下列指令

\log      \lg        \ln        \lim       \limsup    \liminf \sin      \arcsin    \sinh      \cos       \arccos    \cosh \tan      \arctan    \tanh      \cot       \coth      \sec \csc      \max       \min       \sup       \inf       \arg \ker      \dim       \hom       \det       \exp       \Pr \gcd      \deg       \bmod      \pmod

這當然不是完整的列表，因為 ttt{amsopn} 宏包裡還有. 但是我就是還想得到它沒有定義的，譬如矩陣的 雉雞 秩 rank 、跡 trace. 這當然是非戰之罪，因為指令就跟帳號一樣，像 \r 、 \tr 這種長度的帳號大家都搶著註冊，貿然使用的話後果不堪設想

（事實是， 裡用來定義新指令的 \emm{def} 並不會檢查新指令有沒有被用過，只要試著想像一堆人共用同一個帳號，就知道這是非常危險的行為. ） （我曾經定義了 \emm{:} 作為 \emm{middle}，結果好死不死 \emp{braket} 宏包也用了同樣一個指令，導致衝突. 結果就在我嘗試找出錯誤的時候，高微老師又寫了一面黑板阿 ....... 後來花了兩個小時才搞懂錯在哪裡. ）

Delimiter 分隔線
除了變數名稱和算子外，還有一類符號被稱作分隔符號， 會特別處理這些符號附近的空白，同時還有特別的附加功能. 考察（這在傅立葉級數附近會出現） \[ \sin     ( n+\frac12       ) \alpha \] 這個式子的括號其實還滿醜的，如果換成 \[ \sin \left( n+\frac12 \right) \alpha \] 就好多了. 方法是在原始碼的 ( 與 ) 之前分別加上 \emm{left} 跟 \emm{right} ，告訴編譯器它們分別是左、右分隔符號. 而 會自動將其放大到「足夠包住括號裡的內容」. 也就是把

\[ \sin     ( n+\frac12       ) \alpha \]

改成

\[ \sin \left( n+\frac12 \right) \alpha \]

比較固執的是， \emm{left} 與 \emm{right} 有兩個限制


 * 一是 \emm{left} 與 \emm{right} 一定要「成對」；
 * 二是並非所有符號都能跟在 \emm{left} 與 \emm{right} 後面，只有那些 覺得是分隔符號的才行.

隱形的tcolor{white}{分隔線}
\footnote{開燈看看唄}

要產生隱形的tcolor{white}{分隔線}可以用句號. ，儘管在一般情形下句號會印出一個句號，但是

\[ \left. \frac{x^2}2 \right|_0^1 \]

會產生乾淨的 \[ \left. \frac{x^2}2 \right|_0^1 \]

分隔線列表
[             ]    /              \backslash \{            \}    |              \|    \lfloor        \rfloor \lceil        \rceil \langle       \rangle \uparrow      \Uparrow \downarrow    \Downarrow \updownarrow  \Updownarrow

\[   (              ~)% ~[              ~]% ~/              ~\backslash% ~\{            ~\}% ~|              ~\|% ~\lfloor        ~\rfloor% ~\lceil        ~\rceil% ~\langle       ~\rangle% ~\uparrow      ~\Uparrow% ~\downarrow   ~\Downarrow% ~\updownarrow  ~\Updownarrow% \]

中庸之道
也不知道為什麼，除了 \emm{left} 與 \emm{right} 以外，還有一個 \emm{middle} 指令 \[\left\{x\in\mathbb R\middle|-\frac\pi2<x<\frac\pi2\right\}\]

能屈能伸
當然，也不是每次都能用 \emm{left} 與 \emm{right} 解決問題，譬如它們就對

\[ \left( \left( \left( \left( \left( \right) \right) \right) \right) \right) \]

無動於衷 \[ \left( \left( \left( \left( \left( \right) \right) \right) \right) \right) \] 因此改用（注意到它們並沒有成對）

\[ \bullet ) \big) \Big) \bigg) \Bigg) \]

就可以做出 \[ \bullet ) \big) \Big) \bigg) \Bigg) \] 有沒有像維基語錄呢 \footnote{\url{http://zh.wikiquote.org/}}

\emm{big} 系列還不只這些，在每個 \emm{big} 系列的指令最後，可以分別加上 l, m, r ，使它們分別有 \emm{left}, \emm{middle}, \emm{right} 的含義（但是卻不用成對）

\[ \bigg ) + \bigg ( \] \[ \biggr) + \biggl( \] \[ \biggl) + \biggr( \]

\[ \bigg ) + \bigg ( \] \[ \biggr) + \biggl( \] \[ \biggl) + \biggr( \] 以及

\[ \frac12 \bigg | \frac12 \] \[ \frac12 \biggm| \frac12 \]

\[ \frac12 \bigg | \frac12 \] \[ \frac12 \biggm| \frac12 \]

轉注
在 中有很多符號可以用好多個指令叫出來，譬如

\[ | f \vert \]

\[ | f \vert \] 符號的轉注有幾個好處


 * 同一個符號有越多名字，記不得的時候隨便亂打比較容易打對；
 * 同一個符號有很多意思，用不同的指令可以幫助（讀原始碼的）讀者更瞭解意義；
 * 雖然是同一個符號，但是 可能用不同的方式處理空白等等.

先看一個有肉眼可見差異的例子

\[ A \backslash B = A\setminus B \]

\[ A \backslash B = A\setminus B \] 在上面的例子裡， \backslash 是一個分隔符號，但是 \setminus 是二元運算，所以 在後者兩旁加入了適當的空白.

這當然不是最厲害的，最厲害的是這個 \begin{quote} \verb-\vert- is a synonym for \verb-|-. \verb-\Vert- is a synonym for \verb-\|-. \verb-\mid- and \verb-\mvert- produce the same symbol as \verb-\vert- but designated as math relations instead of ordinals. \verb-\divides- produces the same symbol as \verb-\vert- but designated as a binary operator instead of an ordinal. \verb-\parallel- and \verb-\mVert- produce the same symbol as \verb-\Vert- but designated as math relations instead of ordinals. \end{quote} 昏頭了嗎？別急， \begin{quote} According to the ttt{amsmath} documentation, the preceding symbols （這裡指的是 \verb-\lvert-, \verb-\rvert-,\verb-\lVert-, \verb-\rVert- ） are intended to be used as delimiters (e.g., as in “$|−z|$”) while the \verb-\vert- and \verb-\Vert- symbols are intended to be used as operators (e.g., as in “$p|q$”). \end{quote}

換句話說，儘管這些符號都不太一樣，但是肉眼幾乎無法分辨的 \begin{align}\label{verts} &|\notag\\ &\divides\notag\\ &\lvert\notag\\ &\mid\notag\\ &\rvert\notag\\ &\vert\notag\\ \end{align} 同場加映 \begin{align}\label{Verts} &\|\notag\\ &\lVert\notag\\ &\parallel\notag\\ &\rVert\notag\\ &\Vert\notag\\ &||\notag\\ \end{align}

模
\emm{mod} 家族共有三個指令，分別是 \mod{p}, \pmod{p}, \pod{p} ，其中 \emc{p} 是參數，效果依序如下 \begin{align*} \mod{p}\\ \pmod{p}\\ \pod{p} \end{align*}

二項式系數
二項式系數的語法是

\[ \binom{n}{k} \]

\[ \binom{n}{k} \]

就像分數 \emm{frac}, \emm{dfrac}, \emm{tfrac} 三兄弟一樣，二項式也有三兄弟 \emm{dbinom}, \emm{tbinom} ，差異是使用的字體大小.

矩陣
矩陣一律是用環境的方式呼叫，有 \eme{matrix}, \eme{pmatrix}, \eme{bmatrix}, \eme{Bmatrix}, \eme{vmatrix}, \eme{Vmatrix} 這幾種，個別宏包可能會提供別的，不過我想應該滿夠用了.

矩陣內部用 & 換到下一「格」，用 \\ 換到下一行，例如

\[ A = \begin{matrix} a & b \\ c & d       \end{matrix} \]

\[ A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \] 這是赤裸裸的矩陣. 注意到 & 與 \\ 會完全決定矩陣的構造，所以不用換那麼多行也沒關係

\[ P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d   \end{pmatrix} \]

\[ P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] 更懶惰一點

\[ B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

\[ B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \] 大寫ㄅㄧ～

\[ \mathbb B = \begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix} \]

\[ \mathbb B = \begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix} \] 最後兩個

\[ V = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \]

\[ V = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \] 大寫ㄈㄧ～

\[ \mathbb V = \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix} \]

\[ \mathbb V = \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix} \] 如果需要在隨文模式使用矩陣，可以用 $\begin{smallmatrix} \end{smallmatrix}$ ，好處是旁邊的分隔線是可以自己加的，譬如 $/\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}/$ 變成 $/\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}/$.

插入正常文字
我好像提早教了囧.

片段函數
其實這個功能並不只能用在片換函數上，只是說因為它的環境名字就取做 \eme{cases} ，直覺就這樣聯想了. \eme{cases} 的用法跟矩陣有點像，一個萬年示範是

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{if } x>0 \\ 0 & \text{if } x=0 \\ -x & \text{if } x<0 \end{cases} \]

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{if } x>0 \\ 0 & \text{if } x=0 \\ -x & \text{if } x<0 \end{cases} \]

當然，如果直接把等式的內容寫在上面 \text{if } 的地方，那 \eme{cases} 就可以做出方程組的感覺了.

分隔線
寫出 $0,1,2,3,4,5$ 的集合論定義，並且適當地放大.

轉注

 * 找出 \eqref{verts} 的順序，並指出哪個符號漏掉了.
 * 找出 \eqref{Verts} 的順序，並指出哪個符號漏掉了.

片段函數

 * 構造處處不連續的 $\mathbb R\to\mathbb R$ 函數.
 * 構造在有理數不連續的 $\mathbb R\to\mathbb R$ 函數.
 * 構造不連續點無限卻無處稠密的 $\mathbb R\to\mathbb R$ 函數.
 * 構造僅在 $a_1,a_2,a_3$ 連續的 $\mathbb R\to\mathbb R$ 函數.
 * 構造僅在 $z_1,z_2,z_3,\dotsc$ 連續的 $\mathbb C\to\mathbb C$ 函數. （已知 $|z_k|\to\infty$ ）

矩陣
用方括號 \eme{bmatrix} 代表矩陣，絕對值 \eme{vmatrix} 代表行列式值.

\[\begin{bmatrix} a & b & c \\ c & d & e \\ f & g & h \end{bmatrix}\] 的餘因子矩陣.
 * 精確地表答出
 * 精確地表答出上題答案的餘因子矩陣.