一〇二上幾何學作業@S-2013.09.18

好用的引理

Lemma 1
Triple_product $$(A\times B)\cdot C=(C\times A)\cdot B$$ $$A\times(B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$$

Lemma 2
\begin{align} \left(\frac A{|A|}\right)' &= \left(A(A\cdot A)^{-.5}\right)' \\ &= A'(A\cdot A)(A\cdot A)^{-1.5}-.5A(A\cdot A)^{-1.5}(2A'\cdot A) \\ &= (A\cdot A)^{-1.5}\left(A'(A\cdot A)-A(A'\cdot A))\right) \\ &= (A\cdot A)^{-1.5}\left(A\times(A'\times A)\right) \\ &= (A\cdot A)^{-1.5}\left(|A||A'\times A|\right) \\ &= |A|^{-1}|A'\times A| \end{align}

\begin{align} \left(\frac A{|A|}\right)'\cdot B &= (A\cdot A)^{-1.5}\left(A\times(A'\times A)\right)\cdot B \\ &= (A\cdot A)^{-1.5}(B\times A)\cdot (A'\times A) \end{align}

§1.5#2
\begin{align} \tau &= -N'\cdot B \\ &= -\left(\frac{T'}{|T'|}\right)'\cdot B \\ &= -(T'\cdot T')^{-1.5}T'\times(T''\times T')\cdot B \\ &= -(T'\cdot T')^{-1.5}(B\times T')\cdot(T''\times T') \\ &= -(\kappa^2)^{-1.5}(V\times \kappa N)\cdot(T''\times T') \\ &= -\kappa^{-2}(-T)\cdot(T''\times T') \\ &= -\kappa^{-2}(T'\times T'')\cdot T \\ &= -\kappa^{-2}(T\times T')\cdot T'' \\ &= -\kappa^{-2}(R'\times R)\cdot R' \end{align}

§1.5#12
令 $A'=\frac{d}{ds}A$ 與 $\dot A=\frac{d}{dt}A$ 與 $$\sigma=\frac{dt}{ds}=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1}=\left|\dot R\right|^{-1}$$ 則有通式 $$A'=\frac{d}{ds}A=\frac{dt}{ds}\frac{d}{dt}A=\sigma\dot A$$

§1.5#12(b)
\begin{align} \kappa &=\dot T=\sigma T'=\sigma\left(\frac{\dot R}{|\dot R|}\right)' \\ & =\sigma\left|\dot R\right|^{-1}\left|\dot R'\times\dot R\right| \\ & =\sigma\left|\dot R\right|^{-1}\left|\sigma\ddot R\times\dot R\right| \end{align}

§1.5#12(c)
分別代入得 $$T=R'=\sigma\dot R$$ $$T'=\left(\sigma\dot R\right)'=\sigma'\dot R+\sigma\dot R'=\sigma'\dot R+\sigma^2\ddot R$$ $$T=\left(\sigma'\dot R+\sigma^2\ddot R\right)'=\sigma\dot R+\sigma'\dot R'+(\sigma^2)'\ddot R+\sigma^2\ddot R'=\sigma''\dot R+\sigma'\sigma\ddot R+2\sigma'\sigma\ddot R+\sigma^3\dddot R$$ 於是 $$T\times T'=\sigma\dot R\times\left(\sigma'\dot R+\sigma^2\ddot R\right)=\sigma\dot R\times\sigma'\dot R+\sigma\dot R\times\sigma^2\ddot R=0+\sigma^3\dot R\times\ddot R$$ 最後 \begin{align} (T\times T')\cdot T &= \sigma^3\left(\dot R\times\ddot R\right)\cdot\left(\sigma\dot R+\sigma'\sigma\ddot R+2\sigma'\sigma\ddot R+\sigma^3\dddot R\right) \\ &= \sigma^3\left(\dot R\times\ddot R\right)\cdot\left(\sigma^3\dddot R\right) \\ &= \sigma^6\left(\dot R\times\ddot R\right)\cdot\dddot R \end{align}