一〇二上幾何學作業@S-2013.09.25

題號未知
反正就是很難那題啦～

引理
首項消滅的傅立葉級數是 $$f(\theta)=\sum_{n\in\mathbb N}a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta$$ 它的微分是 $$\dot f(\theta)=\sum_{n\in\mathbb N}-na_n\sin n\theta+nb_n\cos n\theta$$ 它的範數的平方是 $$\|f\|^2=\int_0^{2\pi}f^2=\sum_{n\in\mathbb N}a_n^2+b_n^2$$ 它的微分的範數的平方是 $$\|\dot f\|^2=\int_0^{2\pi}\dot f^2=\sum_{n\in\mathbb N}n^2a_n^2+n^2b_n^2$$

Poincare Inequality
假設 $f(\theta)$ 是定義域在 $[0,2\pi]$ 上的週期函數，則有 $$\int\dot f^2=\sum_{n\in\mathbb N}n^2a_n^2+n^2b_n^2\geq\sum_{n\in\mathbb N}1^2a_n^2+1^2b_n^2=\int f^2$$

但若 $g(s)$ 是定義在 $[0,l]$ 上的週期函數，約定變數轉換 $\frac\theta{2\pi}=\frac sl$ 、 $\frac{d\theta}{2\pi}=\frac{ds}l$ 、 $\dot g=g_\theta$ 、 $g'=g_s$ 、 $2\pi\dot g=lg'$ 則有 $$\int_0^ll\left(g'(s)\right)^2ds=\int_0^{2\pi}l\left(\frac{2\pi}l\dot g(\theta)\right)^2\frac l{2\pi}d\theta=\int_0^{2\pi}2\pi\dot g(\theta)^2d\theta$$ 不小於 $$\int_0^{2\pi}2\pi g(\theta)^2d\theta=\int_0^l2\pi g(s)^2\frac{2\pi}lds=\int_0^l\frac{(2\pi)^2}lg(s)^2ds$$

Isoperimetric Inequality
令原點位在曲線上，則 $\theta$ 從 $0$ 跑到 $2\pi$ 的時候 $(r,\theta)$ 走了兩圈的 $\Gamma$ ，因此 $\int r$ 一下正一下負、就消掉了可以用 Poincare 不等式. 同時 $l$ 變成兩倍的周長、 $A$ 變成兩倍的面積，

\begin{align*} l^2 & =l\int_0^l1ds=l\int_0^l\left({r'}^2+r^2{\theta'}^2\right)ds=\int_0^ll{r'}^2ds+\int_0^llr^2{\theta'}^2ds \\ & \geq_{\rm Poincare}\int_0^l\frac{(2\pi)^2}lr^2ds+\int_0^llr^2{\theta'}^2ds=\int_0^l\left(\frac{(2\pi)^2}l+l{\theta'}^2\right)r^2ds \\ & \geq_{\rm AM-GM}\int_0^l\left(4\pi\theta'\right)r^2ds=4\pi\int_0^lr^2\theta'ds=8\pi A \end{align*}